Guide · Théorie
Terminaison et répétition de décimales
Mis à jour : 21 juin 2026
Convertissez une fraction en décimale et l'une des deux choses suivantes se produit toujours : les chiffres s'arrêtent ou ils tombent dans une boucle répétitive. Il n’y a pas de troisième option et vous pouvez prédire laquelle vous obtiendrez simplement en regardant le dénominateur. Comprendre la règle transforme un mystère en un jugement d'un seul coup d'œil.
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Deux types de décimales
Une décimale de fin se termine après un nombre fini de chiffres, comme 0,75 ou 0,125. Une décimale répétitive dure indéfiniment mais parcourt un bloc fixe, comme 0.(3) ou 0.(142857). Chaque fraction — chaque nombre rationnel — est exactement l'un de ces deux.
1/3 = 0,333… (répète)
Ce qui les sépare n'est pas le numérateur mais le dénominateur, une fois que la fraction est exprimée dans ses termes les plus bas.
La règle des 2 et 5
Voici tout le secret. Réduisez d’abord la fraction. Si les seuls facteurs premiers du dénominateur sont 2 et 5, la décimale se termine. Si un autre nombre premier se faufile — 3, 7, 11, 13 — la décimale se répète.
1/20 → 20 = 2×2×5 → se termine
1/6 → 6 = 2×3 → répétitions (le 3)
1/7 → 7 = 7 → répétitions
La raison en est que notre système numérique est en base dix et dix facteurs en 2 × 5. Un dénominateur construit uniquement à partir de 2 et de 5 peut être mis à l'échelle jusqu'à une puissance de dix, ce qu'est réellement une décimale finale.
Pourquoi une puissance de dix est importante
Une décimale finale est secrètement une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000 et ainsi de suite. Ainsi, une fraction se termine précisément lorsque vous pouvez la réécrire avec un tel dénominateur.
(8 × 125 = 1000, donc ça correspond)
Essayez la même chose avec 1/3 et vous échouez : aucune puissance de dix n'est divisible par 3, donc 1/3 ne peut jamais être écrit comme quelque chose sur une puissance de dix, et ne peut donc pas terminer.
Quelle est la durée de la répétition ?
Pour une décimale répétitive, la longueur du bloc répétitif est au plus inférieure d'une unité au dénominateur. Les septièmes se répètent avec un cycle à six chiffres (0.(142857)) ; les onzièmes se répètent avec deux chiffres (0.(09)). La longueur exacte se rapporte à l'ordre de 10 modulo le dénominateur, mais la conclusion pratique est plus simple : les petits dénominateurs avec un facteur de 3, 7 ou 11 produisent les répétitions que vous rencontrez le plus souvent.
Les nombres irrationnels ne sont ni l'un ni l'autre
La terminaison et la répétition des décimales représentent ensemble chaque nombre rationnel - chaque fraction. Les nombres qui ne s'arrêtent ni ne se répètent, comme pi (3,14159…) ou √2 (1,41421…), sont irrationnels : ils ne peuvent pas du tout être écrits sous forme de fraction. Ainsi, le simple fait qu'une décimale se répète est la preuve qu'elle est une fraction, c'est exactement pourquoi la formule décimale répétitive peut toujours la récupérer.
- Se termine → rationnel, dénominateur seulement 2 et 5 s.
- Répéte → rationnel, le dénominateur a un autre nombre premier.
- Ni l'un ni l'autre → irrationnel, aucune fraction exacte n'existe.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fraction se termine ?
Réduisez-la, puis factorisez le dénominateur. Si seulement 2 et 5 apparaissent, cela se termine ; tout autre nombre premier le fait répéter.
Pourquoi 1/3 se répète-t-il mais pas 1/8 ?
8 facteurs en 2×2×2, qui divisent une puissance de dix, donc 1/8 se termine. 3 ne divise aucune puissance de dix, donc 1/3 se répète.
Toutes les décimales répétitives sont-elles des fractions ?
Oui. Tout nombre décimal final ou répétitif est un nombre rationnel et peut être écrit sous forme de fraction exacte. Seules les décimales non répétitives et non terminales sont irrationnelles.