Guide · Décimales récurrentes
Répétition de décimales en fractions
Mis à jour : 21 juin 2026
Une décimale répétitive semble impossible à cerner - les chiffres s'exécutent indéfiniment. Pourtant, chaque nombre décimal récurrent est une fraction parfaitement ordinaire. Il existe une formule courte qui convertit exactement chacun d'entre eux, et la logique qui la sous-tend vaut la peine d'être vue une fois car elle rend la formule impossible à oublier.
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L'astuce de l'algèbre
Supposons que x = 0,3333… Le bloc répétitif comporte un chiffre, alors multipliez par 10 pour aligner les décimales, puis soustrayez l'original :
10x = 3,333…
10x − x = 3
9x = 3 → x = 3/9 = 1/3
La soustraction efface le queue infinie entièrement, laissant un nombre entier propre. Cette seule idée alimente chaque conversion de répétition en fraction.
La formule de raccourci
Vous n'avez pas besoin de refaire l'algèbre à chaque fois. Pour une décimale qui se répète purement à partir du premier chiffre, placez le bloc répétitif sur autant de neuf qu'il a de chiffres :
0.(27) = 27/99 = 3/11
0.(142857) = 142857/999999 = 1/7
Un chiffre, un neuf ; deux chiffres, deux neuf ; six chiffres, six neuf. Alors simplifiez. Ce dernier exemple est une belle surprise : le 0.(142857) disgracieux est simplement un septième.
Quand les chiffres précèdent la répétition
De nombreuses décimales ont d'abord une partie non répétitive, comme 0,16666… Ici, vous avez également besoin de zéros. La règle : le numérateur est la chaîne entière jusqu'à la fin de la première répétition, moins la partie non répétitive ; le dénominateur est un neuf par chiffre répétitif suivi d'un zéro par chiffre non répétitif.
0.58(3): (583 − 58) / 900 = 525/900 = 7/12
Comptez soigneusement : dans 0.1(6), il y a un chiffre non répétitif (le 1) et un chiffre répétitif (le 6), ce qui donne un dénominateur de 90 : un neuf, un zéro.
Pourquoi neuf, exactement ?
Multiplier par dix pour chaque chiffre répétitif et soustraire est ce qui produit les neuf. Deux chiffres répétés signifient une multiplication par 100 ; 100x − x laisse 99x, d'où le dénominateur 99. Les zéros apparaissent lorsque vous devez d'abord dépasser les chiffres non répétitifs avant que la soustraction ne s'aligne. En voyant les choses de cette façon, vous pouvez toujours reconstruire la formule à partir de zéro si vous l'oubliez.
Un tableau de référence
| Décimale répétitive | Fraction |
|---|---|
| 0.(1) | 1/9 |
| 0.(3) | 1/3 |
| 0.(6) | 2/3 |
| 0.(9) | 1 |
| 0.0(3) | 1/30 |
| 0.1(6) | 1/6 |
| 0.(09) | 1/11 |
Oui, 0.(9) est vraiment égal à 1 — la formule donne 9/9, et il n'y a aucun nombre coincé entre 0,999… et 1. C'est l'une des démonstrations les plus claires que les décimales répétitives sont des nombres authentiques et exacts plutôt que approximations.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que 0,333… en fraction ?
C'est 1/3. Le chiffre répétitif unique 3 dépasse un neuf, donnant 3/9, qui se réduit à 1/3.
Comment convertir 0,1666… en fraction ?
Utilisez (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6, car il y a un chiffre non répétitif et un chiffre répétitif.
0,999… est-il égal à 1 ?
Oui. La formule donne 9/9 = 1, et il n'y a pas de nombre entre 0,999… et 1, ils sont donc égaux.